Есть ли возможность сделать так, чтобы автомобиль остался за мной, и я просто продолжил платить дальше? Кроме того, банк говорит, что я вообще не платил по кредиту, хотя чеки на все переводы у меня имеются

В данной ситуации все зависит от содержания подписанного вами кредитного договора и нарушений с вашей стороны. Поэтому на первом этапе необходимо внимательно изучить документ. На данный момент, можно сказать так: если у вас были нарушения, которые позволяют банку расторгнуть договор и требовать с вас полного возврата задолженности, то сохранить автомобиль можно:1.Достигнув договоренности с банковской организацией (письменное или мировое соглашение).2.Полностью погасив задолженность.Разумеется, второй вариант более предпочтительный. Но если финансовой возможности на данный момент нет, то попробуйте найти компромисс со своим банком.